viernes, 16 de marzo de 2007

Siete veces sus cifras

Enunciado

Hemos de observar que se cita que el cociente sea 7, pero no dice nada del resto (puede no ser nulo). La representación genérica de un número de dos cifras es 10A+B, donde A y B son las dos cifras, enteros comprendidos entre 0 y 9 (bueno, A no debe ser nulo, pero esos son casos que podemos filtrar más adelante).

La división de tal número entre la suma de sus cifras es 10A+B entre A+B. Supongamos que el resto es R (un entero entre 0 y A+B) y, según el problema, el cociente es 7. La igualdad fundamental de la división se representa, en este caso, como 10A+B = 7(A+B)+R.

Quitando paréntesis de esta igualdad y simplificando, llegamos a que R = 3A-6B. Puesto que 6 es múltiplo de 3, podemos sacar factor común, es decir, R = 3(A-2B).

Puesto que todos los números implicados son enteros, R debe ser múltiplo de 3. Además, debe ser menor que A+B (para que sea resto en la división entera).

Si R es 0 (la división es exacta), A-2B debe ser 0, por lo que A = 2B. Como A y B son cifras (A no puede ser 0), eso nos lleva a los números 21, 42, 63 y 84.

Si R es 3, A-2B vale 1, así que A = 2B+1. El caso B = 0 no vale por ser 3 mayor que 1+0. Los números que obtenemos son 31, 52, 73 y 94.

Si R vale 6, A = 2B+2 y además A+B es mayor que 6. Eso nos deja 62 y 83.

Si R vale 9, A = 2B+3 y además A+B es mayor que 9. Tenemos sólo el 93.

Si R es mayor, A+B debe ser mayor que R y además A = 2B+R/3 debe ser menor que 10. Podemos comprobar que si B es 0, 1 ó 2, A+B es menor que R. Y si B es mayor que 2, 2B+4 es mayor que 9. Por tanto no hay más números.

En total, son 11 números, 21, 31, 42, 52, 62, 63, 73, 83, 84, 93 y 94.