Ventana con círculos

Enunciado

En todos los problemas en los que hay círculos se debe empezar por trazar los elementos más importantes, que los caracterizan: sus radios. En particular, debemos trazar, si no observamos alguno que pueda darnos una informacion especial, aquellos que unen el centro con algún punto de la circunferencia especial: puntos de corte o de tangencia.

Líneas

En nuestro caso, queda como indica la figura de la izquierda. En este dibujo se han trazado también las diagonales del cuadrado que forman los radios de las circunferencias tangentes, que son unas rectas que también conviene tener en cuenta.

Área

El área que hay que calcular aparece como la diferencia entre un cuadrado y cuatro porciones circulares idénticas, cuyos radios forman siempre ángulos rectos. Entre los cuatro es fácil entender que forman un círculo completo. Si conociésemos el radio de los círculos, podríamos calcular tanto el área del cuadrado (su lado es el doble de un radio) como el del círculo que habría que restarle, y tendríamos el problema solucionado.

Detalle

Ahora, busquemos relaciones entre los diferentes segmentos marcados. Si nos fijamos en el detalle que se muestra a la izquierda, veremos que la mitad de la ventana es suma de dos magnitudes, el radio y la mitad del diámetro del cuadrado. Luego ambas magnitudes suman un metro (R+X = 1). Además, entre la suma de dos radios y los dos medios diámetros, forman un triángulo rectángulo, con lo que cumplen la regla de pitágoras, (2R)2 = X2+X2.

La solución

Puesto que nos interesa especialmente conocer R, despejamos X en la primera ecuación (X = 1-R) y substituimos en la segunda, de donde 4R2 = 1-2R+R2+1-2R+R2. Simplificando, tenemos que 2R2+4R-2 = 0, ecuación de segundo grado que tiene como única solución positiva que R vale raíz cuadrada de 2 menos 1. Como el área buscada es la del cuadrado de lado 2R (que es 4R2) menos el área del círculo de radio R (Pi por R al cuadrado). Sacando factor común R al cuadrado y substituyendo, obtenemos el valor que se aprecia en la imagen para el área, en metros cuadrados, aproximadamente 0,147279417.