jueves, 22 de marzo de 2007

El peso de la moneda falsa

Enunciado

La clave del ejercicio consiste en aprovechar al máximo las comparaciones a las que sometemos los grupos de monedas que pesamos.

En realidad, puesto que pesamos cuatro grupos de monedas en dos pesadas, podemos sentirnos tentados a dividir las monedas en cuatro grupos, pero si hacemos la prueba, caeremos en la cuenta de que, si la moneda falsa no es pesada en la primera comparación, no sirve de nada comparar los elementos del tercer y cuarto grupo. Sin embargo, podemos hacer un sólo grupo con estos dos y compararlos con los que ya tenemos, que sí están bien.

¿De cuánto tienen que ser los grupos? En realidad, podemos hacer grupos de muy distinta cantidad de monedas, siempre que las que pesamos en la primera pesada sean, en total, igual o más que las de la segunda. Pongamos que comparamos un grupo de trescientas monedas a otro de trescientas. Claro, sobran cuatrocientas que quedan sin pesar en la primera pesada.

Supongamos que pesan lo mismo ambos grupos (la balanza queda equilibrada). En ese caso, la moneda falsa está en las cuatrocientas restantes, y las seiscientas que hemos comparado pesan lo correcto. Así que comparamos esas cuatrocientas entre las que está la falsa con trescientas de un montón y cien de otro, que son auténticas. Esta pesada determinará si la falsa pesa más o menos.

En caso contrario, un grupo pesará más y el otro menos, pero sabremos que las cuatrocientas restantes pesan la cantidad correcta. Comparando un grupo de los pesados, por ejemplo, el que pesa más, con trescientas de las monedas correctas (las que no hemos pesado al principio) nos dirá si está la moneda entre las que pesaban más (y, por tanto, pesa más) o entre las otras (y, por tanto, pesa menos), ya que en el primer caso, la balanza se desequilibrará hacia las monedas ya pesadas, y en el segundo quedará en equilibrio.

Es evidente que cualquier reparto de monedas vale en la primera pesada, siempre que los dos grupos iniciales tengan la misma cantidad, sobren tantas monedas (o más) que uno de los grupos, y la suma de los dos exceda el total de sobrantes. De hecho, podría ser desde 250, 250 y 500 a 333, 333 y 334, casos extremos.