miércoles, 21 de marzo de 2007

El área de la luna

Enunciado

Fragmentos

Puesto que la figura no tiene una forma conocida, trataremos de representarla por fragmentos, usando las líneas que tenemos en el dibujo (o tal vez alguna más que tracemos, como los radios principales de las circunferencias, que suelen ser muy interesantes). En este caso, descompondremos la figura en suma de dos, la parte interior del cuadrilátero y el resto.

Segmentos

Como podemos apreciar, la parte exterior al cuadrilátero está formada por dos segmentos circulares, que pueden resultar de restar a la circunferencia el área del cuadrado. Evidentemente, para sacar el área de toda la parte exterior, dividiremos ese resultado entre 2. Es decir, que la fórmula para ese fragmento es (Círculo-Cuadrado)/2.

Lo más complicado es calcular el radio de ese círculo. Observando el triángulo rectángulo formado por las diagonales y el lado, y aplicando el teorema de pitágoras, obtenemos que r al cuadrado por dos es igual a uno, es decir, que el radio es la raíz de dos partida por dos, o uno partido por raíz de dos, que es lo mismo.

Una vez que tenemos el radio, el área del círculo es pi por el radio al cuadrado, es decir pi partido por dos (en decímetros cuadrados). Como el cuadrado mide un decímetro cuadrado, la diferencia será pi partido por dos menos uno. La mitad, es decir, la zona sombreada, medirá pi partido por cuatro menos un medio.

La otra parte

La parte interna se calcula de forma similar. En realidad, el sector que hay que quitar al cuadrado para que nos quede ese área es un cuarto de círculo, de forma que su fórmula sería Cuadrado-(Círculo2/4).

El círculo en este caso es de radio uno (el lado del cuadrado), y su área debe medir pi (en decímetros cuadrados). Como hay que restar sólo la cuarta parte, el área buscada será uno menos pi partido por cuatro.

La suma de ambas áreas será pi partido por cuatro menos un medio más uno menos pi partido por cuatro, es decir, un medio. Por tanto, la respuesta es que el área es medio decímetro cuadrado (equivale a la mitad del cuadrado).