viernes, 23 de marzo de 2007

Los triángulos del cuadrado

Enunciado

CEF

En realidad, el problema no es construir la figura pedida (mira la imagen). Eso es relativamente sencillo. El problema es trasladar las características conocidas (igualdad de distancias, ángulos, propiedades de triángulos), hasta llegar a las conclusiones que se solicitan. Para aclarar conceptos, nos referiremos a los ángulos dando los nombres de tres vértices. El del centro es donde se forma el ángulo. Así, ABC será el ángulo que se forma en B entre los segmentos AB y BC (que, por cierto, mide 90 grados).

Vamos a ver el apartado (a). Puesto que ABC = 90 y ABP = 60, PBC = 30. Como, además, BC mide lo mismo que BE, EBC es un triángulo isósceles. Como el ángulo distinto mide 30, los otros dos miden 75. Claro, que PCB mide 45 (AC es diagonal del cuadrado), por lo que PCE mide 75-45 = 30. Sabiendo que los tres lados de un triángulo suman 180, como conocemos PBC (30) y PCB (45), BPC mide 105, y, claro, CPE, 75. Claro, que PEC es el mismo ángulo que BEC, 75, por lo que CP y CE son iguales, al ser isósceles el triángulo. Por la simetría de F respecto a CD, puesto que C es su propio simétrico, CF es igual a CP, es decir, es igual a CE. Además, ECP = 30, por lo que ECD = 45-30 =15, y como DCF mide 45 grados (simétrico de DCP), tenemos que ECF = 15+45 =60. Dos lados iguales, y el ángulo comprendido de 60 grados, significa triángulo equilátero.

DEF

AED es igual que BEC, por simetría (vertical). Como se ha visto en el apartado anterior, miden 75 grados. Si nos fijamos en los ángulos en torno a E, AED, AEB, BEC y CEF valen, respectivamente, 75, 60, 75 y 60 grados, es decir, suman 270. Por eso, DEF, que forma con los anteriores un giro completo, mide 90. Esto prueba que DEF es rectángulo.

Por otra parte, DE y CE son iguales por la misma simetría y CE y FE tambien, por ser lados de un triángulo equilatero (apartado a), luego DEF es isósceles.

BDF

Como sabemos del apartado anterior, BED = BEA+AED = 60+75 = 135 y BEF = BEC+CEF = 75+60 = 135. También hemos visto que ED y EF son iguales. Por eso, los triángulos BED y BEF son iguales (tienen n lado común, un lado igual y el ángulo comprendido entre ambos igual), y BD es igual a BF. BDF es, en conclusión, isósceles.

PDF

Por simetría respecto a la diagonal AC, DP = BP y BPA = DPA. Como BPA = 180-(60+45) = 75 (fíjate qué triángulo forma), BPD = BPA+DPA = 150. Por esto, DPE = 180-150 = 30 (porque EPB es una línea recta, 180 grados). Por otra parte, BPC = 105 y FPC = 45, de forma que BPF = 105+45 = 150. También FPE = 30. Los triángulos BPD y BPF tienen un ángulo igual y dos lados iguales, así que son iguales, de forma que DP = PF. Además DPF = DPE+FPE = 60. Luego es equilatero, como en el apartado a.