El cuadrilátero inscrito y circunscrito

Enunciado

Este es un problema con una dificultad bastante alta, en particular porque habitualmente se carece de ciertos conocimientos básicos en geometría.

Transportar ángulos

En primer lugar, hemos de observar determinados hechos sobre el problema, en especial las características que tendría el dibujo una vez ya realizado.

La primera de estas características, la apreciamos en la imagen de la derecha. Cualquier ángulo en un arco de circunferencia mide lo mismo, es decir, en este caso, A, B, C y D son iguales. Además, los puntos de este arco son los únicos con esa propiedad. Por otra parte, los puntos del arco opuesto (como el ángulo E) forman un ángulo cuyo valor es suplementario (es decir, suma 180 grados con A). Este hecho es fácil de demostrar, pero es un elemento muy común y útil en casi todos los problemas de geometría, ya que no sólo sirve para caracterizar ángulos iguales, si no también para trasladarlos a otros puntos.

Cuadrilátero inscrito

Por lo dicho en el punto anterior, en el caso de tener un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos sumarán 180 grados. Incluso podemos demostrar que si sus ángulos opuestos suman esa cantidad, puede ser inscrito en una. En el ejemplo de la izquierda, A+C = 180 y B+D = 180.

Cuadrilátero circunscrito

Como el cuadrilátero ha de ser también circunscrito, es decir, tener inscrita una circunferencia, podemos apreciar otros elementos especiales de este tipo de cuadriláteros en el dibujo de la izquierda. Como los radios (que son iguales) son perpendiculares a las tangentes, los ocho triángulos que se forman son rectángulos, e iguales dos a dos. Esa igualdad conlleva que los segmentos AE y AH son iguales, así como BF y BE, CF y CG y DG y DH. Por ese motivo, también es claro que el ángulo de los vértices queda dividido en dos partes iguales por el radio, es decir, que el centro está sobre la bisectriz de todos los vértices.

Cuadrilátero circunscrito

Dándole vueltas al dibujo anterior, hay algunos hechos que debemos reseñar. Partiendo de los vértices del cuadrilátero, sus lados son las dos tangentes exteriores a la circunferencia inscrita. Si miramos los lados, resulta que por las igualdades anteriores, AD+BC = AB+CD. Si miramos los ángulos (ver dibujo de la izquierda), podemos ver que (debido a que se trata de triángulos rectángulos), B = 180-A, C=A/2 y D=90-A/2.

Una vez aisladas las características de los cuadriláteros, vamos a atacar el problema. Tenemos tres puntos de una circunferencia, y buscamos un cuarto. Las líneas que lo conectan a ellos no tienen ninguna característica que nos permitan alcanzarlo, ya que sólo disponemos realmente de un ángulo (el opuesto al que buscamos). Tras hacer numerosos bocetos y desechar muchas ideas que no conducían a nada, llegué a la conclusión de que teníamos más datos del centro de la circunferencia inscrita (incentro), y que si lo tuviésemos, podríamos alcanzar el punto buscado. Sin embargo, aún no estaba el problema resuelto.

Ángulo central

De el incentro sabemos que está sobre la bisectriz del ángulo que tenemos, pero no hay (aparentemente) ningún dato que nos permita saber cuál de los puntos es. Sin embargo, uniendo la información debida a ser un cuadrilátero inscrito y circunscrito simultáneamente, podemos observar en el dibujo de la derecha una curiosa coincidencia. Teniendo en cuenta que D = 180-B, E = A/2, F = 90-A/2, resulta que G = F+B+E = 90+B, que es un ángulo sencillo de obtener.

Primeros pasos

Vamos a construir un procedimiento que se base en construcciones sencillas con regla y compás. Como disponemos del ángulo B, levantamos una perpendicular al lado AB, y obtenemos el ángulo B+90. Es decir, que la recta construida forma un ángulo B+90 con la recta BC.

Si la trasladamos mediante una paralela al punto A (o, mejor, si la hubiésemos construído directamente ahí), y la prolongamos hasta cortar la prolongación del lado BC, tenemos un punto que forma ese ángulo (o su suplementario) con B y con C. Necesitamos ahora un arco que nos traslade ese punto hasta la bisectriz.

Hallar incentro

Pero con tres puntos, tenemos una circunferencia que pasa por ellos. Todos los puntos de esa circunferencia forman un ángulo igual al buscado (o a su suplementario). Basta encontrar cuál es el que pertenece a la vez a la circunferencia y a la bisectriz del ángulo B. Como hay dos, nuestro objetivo será aquel que esté dentro de la circunferencia (el otro forma en realidad el ángulo suplementario).

La solución

Una vez hallado el incentro, el problema es sencillo. Trazando una perpendicular desde éste a un lado del cuadrilátero, tenemos el punto de tangencia con la circunferencia inscrita, de forma que podemos trazarla y también calcular, desde el otro vértice, el punto de tangencia de uno de los lados nuevos (mediante un arco de circunferencia). Dibujando este lado, obtenemos el vértice buscado. Podemos comprobar que el último de los lados también es tangente a esta circunferencia, por el sencilo método de unirlo al último vértice.