Treinta denarios en cinco piezas

Enunciado

Se trata de aprovechar al máximo treinta monedas para pagar, variando los posibles valores de las monedas. En realidad, no puede desprenderse día a día de las piezas, pues tiene sólo cinco y ha de pagar treinta días, luego deberá negociar cambios (es decir, algunos días deberá dar unas piezas a cambio de otras, para mantener pagada su deuda).

Cada una de las piezas tiene, en un día concreto, dos posibilidades: estar en poder del huésped o de la posadera. Esta situación sugiere un método de escritura (notación) para describir la situación diaria que parezca el sistema binario.

Generalmente, el sistema binario se escribe con dos valores distintos para cada posición (1 y 0), y la cantidad de números que puede expresarse para un conjunto de posiciones determinada es la potencia correspondiente de 2, es decir, que con tres posiciones podríamos representar ocho números (dos elevado a tres). En el caso que nos ocupa, cada valor sería que fuese la posadera (1) o el huésped (0), y cada posición sería una de las piezas, cinco en total. Podemos representar así nada menos que 32 valores diferentes, es decir, que aún nos sobran días. ¿cuál es el valor de cada posición? Si has visto alguna vez los sistemas numéricos, lo sabrás ya: las potencias de 2.

Así, la pieza más pequeña vale un denario y la pagaremos el primer día (00001). La segunda dos (el segundo día, la cambiamos por la primera, para pagar los dos denarios, es decir, 00010). El tercer día, usamos de nuevo la pequeña para acumular el tercer denario (00011). El cuarto día usamos la tercera pieza que debe valer cuatro denarios, pidiéndole a la posadera nuestras otras piezas (00100). Las usamos para pagar los días cinco a siete y el octavo día usamos la pieza cuarta, que vale ocho denarios (01000). Reservamos la última para cuando tengamos que pagar dieciséis denarios, el decimosexto día (10000).

Se puede llegar a la misma conclusión si se trata de resolver por tanteo, ya que apenas tenemos margen, pues el número de combinaciones de las piezas es de 32 (incluyendo la situación en la que todas están en nuestro poder), por lo que sólo podríamos pagar un día más con este sistema. Si el número de días a pagar fuese inferior pueden darse otras soluciones, pero cuando nos acercamos a este valor, no puede repetirse ningún valor de las piezas, porque faltarían combinaciones.

Corrección: gracias al comentario anónimo, he releido el enunciado. Efectivamente, las piezas deben sumar 30 denarios, de forma que la solución, pese a funcionar, no es adecuada (suma 31). Podemos comprobar que quitando una unidad a la pieza mayor (15 en lugar de 16), podemos hacer todos los pagos, de forma que ahora no llegamos a 31, suman 30, pero podemos pagar el décimoquinto día de dos formas distintas. Ninguna otra disminución en los valores óptimos provoca un efecto similar. La solución correcta, por lo tanto, sería 1, 2, 4, 8 y 15.