Entre 2 y entre 3

Enunciado

De nuevo, agradezco los comentarios que aportan soluciones al problema. Sin embargo, este problema requiere alguna explicación adicional.

Cuando tomamos la parte entera de un número, sucede que le restamos una cantidad entre 0 y 1. Por eso, sabemos que 2*[n/2] = n o 2*[n/2] = n - 1, y que 3*[2n/3] = 2n, 3*[2n/3] = 2n - 1, o 3*[2n/3] = 2n - 2. La variante concreta depende de que n sea o no múltiplo de 2 o de 3, y de su resto en este último caso al dividir entre 3.

Para resolver el problema, hemos de contemplar todos los casos, así que tenemos [n/2] + [2n/3] = n + 335, por lo que 3*2[n/2] + 2*3[2n/3] = 6n + 2010. Si n es múltiplo de 2 y de 3, esto equivale a 3n + 4n = 6n + 2010, por lo que n = 2010 (múltiplo de 2 y 3). Si n es múltiplo de 2, pero no de 3 (y 2n da resto 1), la ecuación queda 3n + 4n - 2 = 6n + 2010, de donde n = 2012. De la misma forma, tenemos otros cuatro casos.

Si se quiere representar de una misma forma todo, podemos postular la existencia de un valor entero p que puede ser 0 o 1 (el resto de n al dividir por 2) y un valor q que puede ser 0, 1 ó 2 (resto de 2n al dividir por 3). La ecuación se convertirá en 3n - 3p + 4n - 2q = 6n + 2010, por lo que n = 2010 + 3p + 2q, para los distintos valores de p y q. Hay que comprobar los seis casos para confirmar que coincidan los restos, que son 2010, 2012, 2013, 2014, 2015 y 2017.