Feliz 2010

Enunciado

Para poder hacer este ejercicio sin tener que recurrir a las ecuaciones, hemos de pensar en que aproximadamente, los cuadrados consecutivos están a distancias similares.

Observa que desde un cuadrado al siguiente hay sólo dos unidades más que al anterior. Es decir, que en realidad, el promedio entre el siguiente, si le quitamos dos unidades, y el anterior es el cuadrado central. Por ejemplo, el promedio de 25 - 2 = 23 y 9 es exactamente 16.

De la misma forma, entre el cuadrado que hay detrás del siguiente y el que hay antes del anterior, tendremos ocho unidades, ya que cada salto de un cuadrado al siguiente añade dos más. En este caso, para que 36 y 4 promedien 16, hay que quitar 8 a 36. De la misma forma, para que 49 y 9 promedien 25, basta quitar 8 a 49.

Bueno, entonces para que cinco cuadrados consecutivos sumen 2010, si todos promediaran el cuadrado central, sumarían 10 menos (8 para que los dos del extremo promedien el central, y 2 para que los siguientes dos lo promedien). Es decir, sumarían 2000, y 2000/5 = 400, que es el cuadrado de 20.

En efecto, 18*18 + 19*19 + 20*20 + 21*21 + 22*22 = 324 + 361 + 400 + 441 + 484 = 2010.

En realidad, si suponemos que "aproximadamente" están a la misma distancia el cuadrado siguiente y el anterior, y dividimos 2010 entre 5, obtenemos 402, que es muy poco más que el cuadrado de 20. Comprobar que la suma coincide es rutina.

Para trabajar con la familia que nos dan, podemos proceder por diferencias, y observar que la diferencia de cada uno de la familia 8, 34, 78, 140, 220,… con el anterior es 26, 44, 62, 80,…, y las diferencias de cada uno de estos con el anterior es 18, 18, 18,…

Si suponemos que eso continúa así, podemos continuar la serie de primeras diferencias sumando 18 continuamente, y la otra usando también la suma.

Es decir, que la serie de diferencias seguiría así: 98, 116, 134, 152, 170, 188, 206, 224, 242, 260,… (Voy calculando conforme los uso en el siguiente párrafo).

Y la serie que nos interesa, se obtendría si a 220 le sumas 98, con 318, después le sumas 116 y da 434, después le sumas 134 y da 568, después le sumas 152 y da 720, después le sumas 170 y llegas a 890, después le sumas 188 y da 1078, después sumas 206 y llegas a 1284, le sumas 224 y llegas a 1508, le sumas 242 y da 1750, al que le sumas 260 y llegas a 2010.

Luego 2010 sí está en la serie, y ocupa la posición 15.

Como idea alternativa, por si parece demasiado largo, se puede comparar esta serie a la de los cuadrados. Como las segundas diferencias entre los cuadrados son 2, y éstas son 9 veces mayores, debemos comparar la serie a 9 veces el cuadrado, es decir 9, 36, 81, 144, 225,…

Claro que, si os dais cuenta, esta serie es casi la misma, es decir, hay una diferencia que sólo es un poco mayor. En concreto 8 = 1*9 - 1, 34 = 4*9 - 2, 78 = 9*9 - 3,…. Si 2010 pertenece a la serie, será un poco más pequeño que nueve veces un cuadrado. si lo dividimos entre 9, hayamos su raíz cuadrada redondeando hacia arriba llegamos a 15. Comprobamos que el cuadrado de 15, multiplicado por 9, menos 15 da exactamente 2010, como ya sabemos.